Prof Dr D.Ali Ercan : Martın on üçü - Pi günü

3,14 günü kutlu olsun !

Değerli arkadaşlar,  

Her yıl Mart ayının, yani 3. ncü ayın 14 üncü günü Matematik Dünyasında Pi-Sayı günü olarak kutlanır..  Bir Çemberin uzunluğunun çapına orantısı olarak bilinen pi-sayısı medeniyetin vazgeçilmez sayısıdır.. Eski çağlarda, Mezopotamya güneyindeki Sümerler (MÖ 3200) dairenin alanını  binde 1 den daha küçük bir hata ile hesaplayabiliyorlardı. Onlar dairenin çevresinin çapına oranı  olarak tanımlanan pi-sayısını on binde 4 hata ile22/7 alıyorlardı; ancak bu sayı aslında tam olarak a/b şeklinde gösterilebilecek rasyonal  sayılardan değildir;  π sayısının bir polinom olarak da gösterilemeyeceği kanıtlandı 19. Yüzyılda; yani bu durumda pi-sayısı aşkın (transandantal, kavranması mümkün olmayan) bir sayıdır. 

sayısı insanlık tarihi boyunca ilginç bir seyir izlemiştir. 3,141592653589793238..... diye sonsuza  uzanan kuyruğuyla esrarını hep korumuştur; matematikçiler eski çağlardan bu yana bu sayıyı olabildiğince doğru hesaplamanın peşinde oldular.. Oysa fiziksel anlamda bu uğraşların o kadar da büyük bir önemi yoktu. Fizik formüllerinde geçen  faktörlerin hemen hiç biri milyarda birden daha küçük hatayla elde edilemediğine göre fizikçiler için pratikte en çok 12 haneli bir pi-sayısı yeterlidir. 

En büyük fiziksel varlık olarak tanıdığımız tüm Evrenin, boşluk kalmayacak şekilde, en küçük fiziksel varlık olan elektronlarla tıka basa dolu olması halinde bile (bundan daha uçuk bir varsayım olamaz!) bu elektronların sayısı 10^{130 '}dan küçük olurdu!! yani azami 130 haneli bir sayıdır fiziksel Evrende karşılaşabileceğimizi en büyük sayı.. 

(10¹⁰⁰ sayısına  matematikte GOGOL  adını vermişler,  hatta Google adı bu “muazzam” rakamdan esinlenerek alınmış) 

Ama gelin görün ki, matematikçiler bu işin peşini bırakmıyorlar. Yüzyıllardan beri pi-nin  daha hassas hesaplanması için yaklaşımlar ve formüller aramışlar. Arkhimedes pi-nin 22/7 den küçük fakat  223/71  den büyük olduğunu  bulmuş. 5.yüzyılda Çinli astronom Tzu-Chung pi için en yakın kesir olarak 355/113 ü kullanmıştır. (hata 10 milyonda 1 den küçüktür) Şimdiye kadar bulunan en başarılı kesir ise, milyarda 1 hata ile 103993/33102 dir. 

Avrupa’da matematik biliminin dev adımlarla ilerlediği 17 ve 18. yüzyıllarda ünlü matematikçiler pi- sayısının daha hassas hesaplanması için analitik formüller geliştirdiler. Bunlar içersinde en zarif formülü geliştiren İngiliz matematikçi John  B. Wallis  (1616-1703) oldu :

 π/2=[(2x2)/(1x3)] x [(4x4)/(3x5)] x [(6x6)/(5x7)] x… 

Bu formülde ne kadar çok çarpan kullanılırsa  pi sayısının gerçek değerine o kadar yaklaşılmış oluyor. (Wallis aynı zamanda sonsuz işaretini ∞ matematiğe hediye eden insandır.)  

Bu ve buna benzer başka dizi formüller kullanılarak 1837 de 152 basamak hesaplanmıştı. 1841 de 208 inci, 1853 te 440 ıncı  ve 1807 de William Shanks tarafından 707 inci basamağa kadar pi sayısı keşfedilmişti.. Ancak bu hesaplamalar aylar, yıllar sürüyordu. 

20.nci Yüzyılın başında sahneye  Hindistan 'dan bir matematik dahisi çıktı: Ramanujan Genç yaşta veremden ölen bu sıra dışı matematikçi hemen hiç kimsenin anlayamadığı bir algoritma (hesaplama yöntemi) geliştirmişti. 

Srinivasa Aiyangar Ramanujan(1887-1920) İngiltere Trinity College'de eğitimini üstün başarıyla tamamlamıştır, bir çok matematik  formülün altında  imzası vardır; matematikçiler arasında şöyle bir söz dolanır: “Ramanujan söylediyse doğrudur” (formülleri gece rüyasında duvara yazılı şekilde gördüğünü söylermiş) 

Ramanujan pi-sayısı için bulduğu formülünü maalesef kanıtlayamadan öldü. Bu formülün kanıtlanması, geliştirilmesi ve modern bilgisayarlar aracılığıyla uygulanarak milyonlarca hanenin hesaplanması Ukrayna’dan David ve Gregory Chudnovsky kardeşlere nasip oldu.. İşte o dehşetli, esrarengiz formül. 

Bilgisayarların yüksek hızlara erişmesi ile bu konu uluslararası bir yarışa dönüştü.Chudnovsky  kardeşlerin 1989 daki 8 milyar haneli pi- rekorunu  çok geçmeden 1997 de Japon Takahashi 51 milyara çıkardı; Bilgisayar bunun için sadece 30 saat hesaplama yapmıştı. ardından Fransız matematikçi  Fabrice Bellard basit bir makine ile 2,7 trilyona çıkardı rakam sayısını.  

Şu anda Dünya rekoru 10 trilyon hane ! ileJaponya'dan  Shigeru Kondo ve Alexander Yee ikilisine ait. 10 trilyon haneli bir sayıyı hayal etmek  bile çok zor. Rakamları en küçük 8-punto ve sıkı aralıklarla bir A4 kağıdına yazsak, arkalı önlü bir A4 kağıdı en fazla 30 bin rakam alır. 10 trilyon rakamın yazıldığı A4 kağıtlarını üst üste koysaydık (100 kağıdın kalınlığı 1 cm. hesabıyla) bu kâğıt yığını 33 km yüksekliğe erişirdi.. (Everestin ~4 katı yükseklik!) 

Japonların  saniyede ~10 milyon işlem yapan bu hızlı 'made in Japan' makineleri ile 10 milyar hanenin hesaplanması 371 gün sürdü.

Bu pi- deliliğinin arkasında yatan esas neden,  rakam dizileri içerisinde Evrensel (Tanrısal !) bir mesajın olup olmadığı  sorusudur. şimdiye kadar 0' dan 9' a kadar bütün rakamların  yaklaşık eşit olasılıklarda ve “mükemmel  bir kaos!” görüntüsünde çıktığı söyleniyor. Yani mesaj umudu yok. 

(zaten herhangi iki rakam diğerlerinden belirgin  şekilde farklı oranda  çıkmış olsaydı  muhtemel bir tekrar dizisine işaret ederdi ki, öyle bir şey yok henüz ve bu deliliğin ne zaman son  bulacağı da belli değil..) 

Hoş olan, istediğiniz her rakam dizisinin bu sonsuzlukta bulunuş “garanti”sidir; biraz sabırla mesela kendi doğum gününüzü mutlaka bulabilirsiniz pi-nin kuyruğunun bir yerlerinde. Sevgilerimle. æ

Pi sayısının hesaplanmasında keşfedilen rakam sayısı Bilgisayar teknolojisinin gelişimini de gösteren bir ölçüttür.. Yarı iletkenlerin keşfinden sonra elektroniğin gelişim hızına bağlı olarak 1950 sonra Pi sayısındaki rakamların  nasıl hızlı keşfedildiğine dikkat ediniz. Bu gidişle 2100 yılına kadar 10²⁴  hane  hesaplanmış olacak..